**导语**：真实中，股票收益率的分布并不像我们所期望的那样是独立正态分布，而是有偏的——收益率时间序列往往存在自相关性。如果能够根据收益率的记忆性分析出它的趋势，那么便可以将此作为一个择时的依据，制定量化交易策略。那么，如何刻画这一统计特性？使用Hurst指数便是其中一种办法。 ``` 本文由JoinQuant量化课堂推出 。难度标签为进阶上，理解深度标签：level-0 作者：胖子邓 编辑：宏观经济算命师 ```
在标准金融学模型中，我们基本都假定股票的波动是随机独立的。一个随机独立的波动率对应的股票变动如下图所示： ![1.png][1]
但是实际上，真实的股票数据并非这样——股票的低迷往往会持续很长的时间，而突然的增长则是远超过平均收益的暴涨。 ![QQ截图20160802113620.png][2]
直观上的原因在于，看上去随机的收益率并不是那么的随机——它们具有一些自相关性。例如，在大部分股票市场，当前收益率持续较高的时候，之后的收益率也更可能高（牛市往往持续一段时间），当前收益率低时，之后的收益率也低（熊市往往也会持续很长时间）。 听起来有点像动量效应，其实吧，我们得再次声明下，任何CTA类策略，要么就是抓趋势（偏动量）的，要么就是抓震荡（偏均值回归）的。 自相关性的应用其实起源于其他场景。Hurst指数就可以刻画这一统计性质。Hurst指数的来源就是Hurst本人在研究河流流量之后发现，干旱的时间愈久，就更可能出现持续的干旱；大洪水之后，也更可能出现大洪水。 我们可以像hurst本人刻画河流流量一样，将hurst指数用于刻画股票的记忆性，通过识别股票价格的波动趋势，买入更有可能持续上涨的股票，实现收益。
#### **1.1 Hurst指数的计算**
![8.png][3] （上图是计算hurst指数的流程图，可配合以下文字一起咀嚼） 简单来讲，hurst指数的计算，是计算一个序列$(R/S)_t$（接下来会具体介绍$(R/S)_t$的计算方法）对t的变化斜率。
![4.png][4]
如上图所示，如果我们有一系列（t，$(R/S)_t$）的数据，那么回归得到的红线的斜率就是hurst指数的值。 而这里的t就是选择的样本区间的长度（例如选择了八十天的数据，那么t=80），接下来的关键就是计算$(R/S)_t$值。
取沪深300日回报率(daily return)n天内的数据作为时间序列，记回报率$X=X_1,X_2 X_3,…,X_n$为一串时间序列。
**第一步**：计算这个序列的均值: \[m_t=\frac{1}{t} \sum_{i=1}^t X_i \] **第二步**：计算离差序列(deviation): \[Y_t=X_t-m_t\] **第三步**：将离差序列求和，计算出离差序列和的极差(widest difference)：
$Z_n=\sum_{i=1}^n Y_i $ $R_t=\max⁡{(Z_1,Z_2,…,Z_n)} -\min⁡{(Z_1,Z_2,…,Z_n)} $ $Y = 离差序列 $ $Z = 离差序列和 $ $R = 离差序列和的极差 $
**第四步**：计算序列X的标准差(standard deviation): \[S_t=\sqrt{\frac{1}{t-1}\sum_{i=1}^t (X_i-\overline{X})^2} \]
**第五步**：计算R/S值：
$(R/S)_t=R_t/S_t$ $R = 第3步中计算的离差序列和的极差$ $S = 第4步中计算的标准差$
根据上面1-5步的计算，我们得到了一个序列$X=X_1,X_2 ,X_3,…,X_n$对应的R/S，因为这个序列样本有n个，因此R/S可以写作$(R/S)_n$ 如前所述，我们需要计算一系列的（t，$(R/S)_t$），因此我们需要重复上面的步骤——
**第六步**：重复1-5步计算R/S，但分别取不一样的t值（t=2,3,…,n），这相当于我们对序列：
$X_1,X_2 $ $X_1,X_2 ,X_3$ $X_1,X_2 ,X_3 ,X_4$ $…$ $X_1,X_2 ,X_3 ,X_4,…,X_n$ 分别计算按照上述分段方法得到的$(R/S)_t$值。
**第七步**：计算Hurst指数 a. 将每种分段方法的片段大小（即所取得时间区间t）和R/S对10取对数 b. 这样我们就有了对数序列。将$lg(R/S)_t$作为被解释变量Y，lgt作为解释变量X，线性回归估计斜率H，H就是Hurst指数。 $ $ **对Hurst指数的直观解释是**：当所选取的样本越多，样本的变化也就越丰富，因此离差序列和的极差（以下简称极差）也会越大。如果序列有相关性时，序列长期向着一个方向变化，计算所得的极差就会比完全随机的情形更大，因此当极差随样本增加增长得越快时，序列的记忆性就越强。而hurst就是描述样本规模和R/S的上述关系，当hurst指数大的时候，其记忆性自然也就越强。 （我们这个是level0的理解深度，未来的量化课堂文章会讲原理）
#### **1.2 Hurst指数的性质** Hurst指数体现了时间序列的自相关性，尤其反映了序列中隐藏的长期趋势，统计学上称为长期记忆(long-term memory)。Hurst指数居于0-1之间。以0.5为间隔，时间序列在不同的区间会表现不同的特性： H=0.5：标准布朗运动。此时，序列为随机游走，表现马尔可夫链特性。 H≠0.5：分形布朗运动，这种运动不是完全随机的，具有长期相关性—— 当H>0.5时，表现为持续性（即持续之前序列的性质）； 当H<0.5时，表现为反持续性。
#### **1.3 Hurst指数的应用** 思路：根据收益率变化趋势与hurst指数，判断应该买入还是卖出—— 如果过去收益率增加并且序列有正相关性，买入股票； 如果过去收益率降低并且序列有正相关性，卖出股票； 如果过去收益率降低并且序列有负相关性，买入股票； 如果过去收益率增加并且序列有负相关性，卖出股票； 具体而言，在我们的策略中，采用hurst指数来衡量序列相关性。当hurst>0.6时，认为序列有趋势性，当hurst<0.4时，认为hurst有负相关性；
而对于判断过去收益增加还是减少，一种办法是直接用当前收盘价和前N日收盘价比较，如果当日收盘价高，则认为收益增加。但是在我们的设定中，这种办法的缺陷是这实际上只能判断收益增加，但是不能判断收益率的变化，因此在本文的策略中，采用的是N日收益率对时间回归。如果回归所得的斜率为正，则认为在过去N日中收益率是增长的趋势（注意：是收益率向上，而不是股票走势向上哦！）；如果回归所得的斜率为负，则认为在过去N日中收益率是减少的趋势。 注：在应用中，我们取N=59（收盘价数据取N=60天的数据）。
根据回测结果，可以看出hurst的择时在应对大跌时效果较好，但因为要保证收益率是持续增长，往往在大牛市中会提前空仓，但一整个牛熊市下来，收益率远高于大盘。 ![5.png][5]
![6.png][6] ``` 本文由JoinQuant量化课堂推出，版权归JoinQuant所有，商业转载请联系我们获得授权，非商业转载请注明出处。 文章迭代记录 v1.0，2016-07-30文章上线 ``` [1]: https://image.joinquant.com/c04a64c781cf93dde9726110db2c2ca8 [2]: https://image.joinquant.com/c5537ad0ad3420589d9c8d6cc8de90dd [3]: https://image.joinquant.com/04eba389756d454d57ab128e70c821b7 [4]: https://image.joinquant.com/14e00736953ec01607cd07bd1276ff9a [5]: https://image.joinquant.com/f4672b4c06a895f32ac1a145a5ffca98 [6]: https://image.joinquant.com/75c27c39537e4308147fdabb1299b9ae